tugas kalkulus

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

TUGAS KALKULUS II

MOMEN INERTIA

DISUSUN OLEH :

WAHYU SETYO HUTOMO (08/270052/PA/12192)

MUHAMMAD ULIN NUHA (08/272883/PA/12324)

---

YOGYAKARTA

JUNI

2009

MOMEN INERTIA

Momen kelembaman (momen inersia) sebuah titik terhadap suatu poros tertentu adalah hasil kali masa titik itu dengan pangkat dua dari jarak titik ke poros.

1.      Momen Inertia Sistem Partikel

Suatu partikel bermassa m dan jaraknya ke suatu sumbu l adalah r, maka hasil kali massa m dengan dengan kuadrat jarak  r², dapat ditulis dengan rumus I = mr

            

Kemudian diketahui suatu partikel terdiri atas beberapa n partikel yang masing-masing bermassa  m1, m2, m3,…, mn. Dan masing-masing partikel terhadap sumbu l berjarak r1, r2, r3,…,rn, maka momen inertia system partikel tersebut terhadap sumbu l adalah jumlahan momen inertia masing-masing partikel terhadap sumbu l, yaitu :

I =  .

2.      Momen Inertia Sebaran Massa

Jika suatu benda bermassa m dan garis l, maka momen inertianya dapat dicari dengan cara sebagai berikut yaitu benda dioptong kecil-kecil sehingga terbentuk suatu partikel, massa partikel sebaran adalah dm.

          

Sedangkan jaraknya terhadap garis l adalah r, dapat dirumuskan  :

dI = r²dm, karena m variable kontinu, maka dirumuskan :

I = ∫ r²dm

Contoh : Tentukan momen inertia suatu persegi panjang homogen dengan massa M, lebar a dan panjang b terhadap salah satu sisinya.

Jawab : persegi panjang dipotong secara melintang maka akan diperoleh suatu partikel dengan massa dm = ρbdy dan berjarak y terhadap sumbu X. Momen inertia partikel terhadap sumbu X adalah dl X = ρby²dy, dapat dirumuskan sebagai berikut :

I X =  = ρb [⅓y³]  =⅓ ρba².

Karena massa benda adalah M =ρab, maka I X = ⅓ Ma².

3.      Momen Inertia Area Datar

Suatu f fungsi non-negatif dan terintegral pada [a,b] dan area D =  homogen dengan kerapatan ρ.

Momen inertia D terhadap sumbu X adalah :

   =⅓

Sedangkan momen inertia D terhadap sumbu Y adalah :

  = ρ  .

Contoh : Tentukan momen inertia lingkaran homogen dengan radius R terhadap garis tengahnya.

Jawab : momen inertia seperempat lingkaran jari-jari R terhadap sumbu Y adalah :

=  = 

            Jadi momen inertia lingkaran jari-jari R terhadap garis tengahnya adalah :

            ’ = 4.  =  .

4.      Momen Inertia Kutub

Momen inertia kutub suatu benda datar adalah momen inertia benda tersebut terhadap sumbu yang tegak lurus bidang benda. Diambil sumbu yang melewati titik asal, yaitu titik perpotongan sumbu tegak dan sumbu mendatar pada koordinat kartesius.

Suatu partikel/titik P(x,y) berjarak r terhadap sumbu Z, r² = x² + y², maka mr² = mx²+my². Sehingga momen inersia kutub partikel adalah :

 .

Contoh : Tentukan momen inertia kutub lingkaran berjari-jari R.

Jawab : Karena momen inertia lingkaran dengan radius R terhadap sumbu X dan sumbu Y masing-masing adalah :  .

5.      Momen Inertia Benda Putar

Momen inertia tabung dengan jari-jari r dan tinggi t terhadap sumbunya.

Massa irisan tabung adalah :

 dm = 2πρxtdx

momen inertia irisan ini terhadap sumbunya adalah dI = 2πρx³tdx. Lalu momen inertia tabung terhadap sumbunya adalah :

I = 2πρ

Suatu f fungsi terintegral dan non-negatif pada [a,b] dan area D={(x,y):0≤y≤f(x),a≤x≤b}

Homogen dengan kerapatan ρ.

Jika D diputar sekeliling sumbu X, maka diperoleh benda putar. Karena persegi panjang dA juga berputar dan menghasilkan tabung dengan momen inertia terhadap sumbu X :

d = ½πρ(f(x))⁴dx, jadi momen inertia benda putar terhadap sumbu X adalah :

 = ½π  dx.

Jika D diputar sumbu Y, maka elemen dA berputar dan membentuk kulit tabung :

d  = 2πρx³ f(x) dx

 = 2π x³f(x)dx

Contoh : Tentukan momen inertia bola dengan jari-jari a terhadap garis tengahnya.

Jawab :

bola dapat diperoleh dengan memutar bidang setengah lingkaran terhadap garis tengahnya, maka :

 = ½πρ a²-x²)² dx

     = πρ a²-x²)² dx

     = πρ a⁴-2a²x²+x⁴) dx

     = πρ (a⁴x- a²x²+ x⁵

     = πρ ( a⁵- a³)

     =  πρ a⁵.

6.      Teorema Sumbu Sejajar

Jika  adalah momen inersia benda terhadap sumbu  yang melalui titik berat benda tersebut, maka momen inertia benda terhadap sumbu L yang sejajar  adalah :

I =  + Mh², dengan h jarak antara L dan , sedangkan M adalah massa benda.

Contoh : Tentukan momen inertia lingkaran berjari-jari R terhadap suatu garis singgungnya.

Jawab :

Momen inertia terhadap garis tengah ;  = ¼ πρR⁴.

Massa lingkaran ; M = πρR².

Diambil salah satu garis singgung lingkaran yang sejajar dengan garis tengah tadi, maka jarak kedua garis ini adalah h = R. Sehingga didapat  :

I =  + Mh² = ¼ πρR⁴ + πρR⁴ =  πρR⁴ .